Guillaume Nicoulaud
DTAMl

Le point des gérants | Lettre Perspective NOVEMBRE 2015 |  STATISTIQUE

La racine carrée du temps

JEUNE DIPLÔME — c’est-à-dire ignorant d’à peu près tout — on m’a un jour expliqué que, ce que les financiers appellent une volatilité, n’est rien d’autre qu’un écart-type annualisé, c’est-à-dire multiplié par la racine carrée du nombre de périodes qui font un an.
Par exemple, si votre écart-type est calculé sur la base de variations mensuelles, il suffit de le multiplier par la racine de 12; si vos données sont hebdomadaires, vous utiliserez la racine carrée de 52 et, partant du principe qu’il y a 260 jours ouvrés par an[1], nous obtenons une volatilité en multipliant l’écart-type des performances quotidiennes par la racine carrée de 260. Mais pour quoi diable multiplions-nous l’écart-type par la racine carrée du temps ?

Différences de logarithmes additives

La première chose qu’il faut bien comprendre c’est que nous ne travaillons pas sur des rendements conventionnels — prix final divisé par prix initial moins un — mais sur des différences de logarithmes naturels. Considérez par exemple une action dont le prix de clôture évolue de $100 hier à $101 aujourd’hui. soit une variation de +1%. Mesurée en terme de différence de logarithmes, cette variation s’écrit ln(101)-ln(100) ou, ce qui est strictement équivalent, ln(101/100), soit environ 0.00995 ou 0.995%.

Une spécificité fondamentale des différences de logarithmes c’est qu’elles sont additives. C’est-à-dire que la différence de logarithme sur T jours est égale à la somme des T différences de logarithmes quotidiennes là où, avec des rendements conventionnels, nous devrions utiliser un produit.

D’un point de vue théorique, c’est une propriété d’une importance capitale : d’une part, elle nous permet de déduire que, si la moyenne des différences de logarithmes quotidiennes (μ) est stable, la différence de logarithme moyenne au bout de T jours s’écrit μT.
D’autre part, la formule de Bienaymé [2] nous apprend que si la variance des différences de logarithmes quotidiennes (σ2) et si leur corrélation est nulle, alors la variance de la différence de logarithme moyenne au bout de T jours s’écrit σ2T.
La variance étant le carré de l’écart-type, on en déduit facilement que l’écart-type des différences de logarithmes au bout de T jours s’écrit σ * racine (T) — d’où la racine carré du temps.

Ce que nous appelons volatilité…

… N’est donc qu’un cas particulier : le cas dans lequel T est égal à un an (12 mois, 52 semaines, 260 jours…) Ce que mesure une volatilité, c’est l’écart-type de la distribution des différences de logarithmes à horizon d’un an en supposant que la moyenne (μ) et la variance (σ2) des différences quotidiennes sont constantes et que ces dernières ne sont pas corrélées entre elles.

Naturellement, de ce qui précède, le lecteur aura compris que multiplier un écart-type de rendements conventionnels par la racine carrée du temps ne signifie strictement rien : cette formule n’est juste qu’avec des différences de logarithmes.

(1) On compte 5 jours ouvrés par semaine sur 52 semaines. Le chiffre de 252 est en général plus réaliste.
(2) Irénée-Jules Bienaymé (1796-1878), dernier des grands probabilistes français.

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